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善用归纳法解决复杂的运算问题

归档日期:05-11       文本归类:蜂房      文章编辑:爱尚语录

  在数学运算中同学们常常遇到题面非常复杂的试题,这类试题从试题本身入手极难解答。此时如果将复杂问题简单化,反而更容易解答。著名数学家华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑,就是一种以退为进的解题策略。

  这种先退后进,从简单情况出发,进而推演到一般情况的方法叫做归纳法。即对于未知的数学对象,我们先从个别的,简单的问题入手,探寻出其规律后,再利用这个规律去解决普遍性问题。博大弘仕赵兵老师教大家利用归纳法解决复杂问题。比如下面这个问题:

  【例1】有一段楼梯有10级,规定每一步只能跨一级或两级,要上10级有多少种不同的方法。

  【解析】这类问题的叙述方式一般都是,给出某种问题的某种条件,要求我们求出一个具体数值的实现方式有多少种。这里问题就是著名的问题是“牛顿台阶问题”。

  从上图可以看到,有1级台阶,有1种走法;有两阶台阶,有两种走法;如果有3阶台阶,那么有3种走法;如果有4阶台阶,那么有5种走法……

  如果我们继续试下去,那么可以得到如果有6阶台阶,那么有8种走法;如果有7阶台阶那么有13种走法……,我们把这些“走法”的种类看成一个数列,那么这个数列是:1,2,3,5,8,13……,这个数列的规律是:后项=前两项的和

  根据数列的规律,就可以计算出:如果有10级楼梯,则有89种走法。故正确答案为C。

  利用归纳法,应该从简单数量入手,然后找出规律。比如上十级台阶,有多少种走法?那么就可以考虑一级台阶有几种走法、两级台阶有几种走法、三级台阶有几种走法、四级台阶有几种走法……,然后对走法数的规律进行归纳。先考虑简单,后考虑复杂。

  【例2】(2012年安徽真题)如图所示为两排蜂房,一只蜜蜂从左下角的1号蜂房开始去8号蜂房,假设只朝右上或右下逐个爬行,则不同的走法有()。

  【解析】直接思考很复杂,从最简单的情况进行推导。首先假设只有1、2两个蜂房,那么有1种走法;假设有1、2、3三个蜂房有2种种法;假设有1、2、3、4四个蜂房有3种走法;假设有1、2、3、4、5五个蜂房有5种走法,观察数列1、2、3、5,为和的数列。所以六个蜂房有3+5=8种走法;七个蜂房有5+8=13种走法,八个蜂房有8+13=21种走法。故,正确答案为C。

  在数学归纳题目中,如果含有复杂的关系,可以将这些数据列举出来,分析变化规律,然后找出正确结果。

  【例3】100张多米诺骨牌整齐地排成一列,依顺序编号为1、2、3……99、100。第一次拿走所有奇数位置上的骨牌,第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌,依此类推。请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少?()。

  【解析】第一次取走全部的奇数,所以余下的数全部为偶数。第二次再取奇数位置上数字,剩下的都是4的倍数,以此类推,取第三次后剩下8的倍数,取第四次后剩下16的倍数,可以发现剩下的数都是2n,n表示取牌的次数,2n表示取牌后剩下数的特点。那么100以内,2n最大是64。故,正确答案为B。

  【例4】在一张正方形的纸片上,有900个点,加上正方形的4个顶点,共有904个点。这些点中任意3个点不共线,将这纸剪成三角形,每个三角形的三个点是这904个点中的点,每个三角形都不含这些点。可以剪多少个三角形?

  【解析】从最简单的情况开始考虑,在有4个顶点的基础上,每增加一个点,则多两个三角形,那么三角形总数为:2+900×2=1802。故正确答案为B。

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